1、二叉排序树的定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
（1）若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
（2）若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
（3）左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。
2.二叉排序树的性质及意义
性质：按中序遍历二叉排序树，所得到的中序遍历序列是一个递增有序序列。
意义：构造一棵二叉排序树的目的，并不是为了排序，而是为了提高查找和插入删除关键字的速度。不管怎么说，在一个有序数据集上 的查找，速度总要快于无序的数据集，二叉树这种非线性的结构，也有利于插入和删除的实现。
3.二叉排序树的查找
假定二叉排序树的根结点指针为 root ，给定的关键字值为 K ，则查找算法可描述为：
（1）置初值： q ＝ root ;
（2）如果 K ＝ q －> key ，则查找成功，算法结束；
（3）否则，如果 K ＜ q －> key ，而且 q 的左子树非空，则将 q 的左子树根送 q ，转步骤（2）；否则，查找失败，结束算法；
（4）否则，如果 K ＞ q －> key ，而且 q 的右子树非空，则将 q 的右子树根送 q ，转步骤（2）；否则，查找失败，算法结束。
4.二叉排序树的插入
在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后的二叉树仍符合二叉排序树的定义。
插入过程如下：
（1）若二叉排序树为空，则待插入结点*S作为根结点插入到空树中；
（2）当非空时，将待插结点关键字S->key和树根关键字t->key进行比较，若s->key = t->key,则无须插入，若s->key< t->key,则插入到根的左子树中，若s->key> t->key,则插入到根的右子树中。而子树中的插入过程和在树中的插入过程相同，如此进行下去，直到把结点*s作为一个新的树叶插入到二叉排序树中，或者直到发现树已有相同关键字的结点为止。
5.二叉排序树的删除
假设被删结点是*p，其双亲是*f，不失一般性，设*p是*f的左孩子，下面分三种情况讨论：
（1）若结点*p是叶子结点，则只需修改其双亲结点*f的指针即可。
（2）若结点*p只有左子树PL或者只有右子树PR，则只要使PL或PR 成为其双亲结点的左子树即可。
（3）若结点*p的左、右子树均非空，先找到*p的中序前趋(或后继)结点*s（注意*s是*p的左子树中的最右下的结点，它的右链域为空），然后有两种做法：
① 令*p的左子树直接链到*p的双亲结点*f的左链上,而*p的右子树链到*p的中序前趋结点*s的右链上。
② 以*p的中序前趋结点*s代替*p（即把*s的数据复制到*p中），将*s的左子树链到*s的双亲结点*q的左（或右）链上。
6.实现代码如下：
bi_search_tree.h
#ifndef __BI_SEARCH_TREE_H__
#define __BI_SEARCH_TREE_H__
typedef int datatype;
typedefstruct bi_search_tree
{
datatype key;
struct bi_search_tree *left,*right;
}bst_tree;
/*插入操作，value是待插入的值*/
bst_tree *bst_insert(bst_tree *root, datatype value);
/*查找，找到返回1，否则，返回0*/
int bst_search(bst_tree *root, datatype value);
/*删除节点值为value的节点，成功返回1，否则，返回0*/
int bst_delete(bst_tree *root, datatype value);
/*中序输出bst树*/
void bst_print(bst_tree *root);
#endif
bi_search_tree.cpp
#include
#include
#include "bi_search_tree.h"
/*插入操作，value是待插入的值*/
bst_tree *bst_insert(bst_tree *root, datatype value)
{
bst_tree *parent, *node, *child;
/*树为空，创建根节点*/
if(root == NULL)
{
root = (bst_tree *)malloc(sizeof(bst_tree));
root->key = value;
root->left = NULL;
root->right = NULL;
return root;
}
parent = root; /*记录下根节点的位置*/
node = root;
while(node != NULL)
{
/*待插入数据已经存在，则返回*/
if(node->key == value)
return root;
else
{
parent = node;
/*若小于节点的值，则查看节点的左孩子，否则，查看右孩子*/
if(node->key < value)
node = node->right;
else
node = node->left;
}
}
child = (bst_tree *)malloc(sizeof(bst_tree));
child->key = value;
child->left = NULL;
child->right = NULL;
if(value > parent->key)
parent->right = child;
else
parent->left = child;
return root;
}
/*查找，找到返回1，否则，返回0*/
int bst_search(bst_tree *root, datatype value)
{
bst_tree *p;
p = root;
if(p == NULL)
return 0;
if(p->key == value)
return 1;
else if(p->key > value)
return bst_search(p->left, value);
else
return bst_search(p->right, value);
}
/*删除节点值为value的节点*/
int bst_delete(bst_tree *root, datatype value)
{
bst_tree *p, *pre=NULL, *mid;
p = root;
if(root == NULL)
return 0;
/*找到该节点*/
while((p != NULL) && (p->key != value))
{
pre = p;
if(p->key < value)
{
p = p->right;
}
else
p = p->left;
}
if(p == NULL)
return 0;
/*至少有一个子节点为空*/
if( (p->left == NULL) || (p->right == NULL) )
{
if( pre->left == p )
{
pre->left = ( (p->left == NULL) ? p->right : p->left );
}
else
pre->right = ( (p->left == NULL) ? p->right : p->left );
free(p); /*释放节点*/
}
else
{
/*删除的节点有2个子女*/
mid = p->right;
pre = p;
/*寻找中序的第一个节点*/
while(mid->left != NULL)
{
pre = mid;
mid = mid->left;
}
/*移花接木，直接赋值，避免交换节点*/
p->key = mid->key;
/*将mid节点的子节点作为pre的子节点，并将mid所指向的节点删除*/
if(pre->right == mid)
pre->right = mid->right;
else
pre->left = mid->right;
free(mid);
}
return 1;
}
/*中序输出bst树*/
void bst_print(bst_tree *root)
{
if(root == NULL)
return;
bst_print(root->left);
printf(" %d ", root->key);
bst_print(root->right);
}
测试代码：main.cpp
#include
#include "bi_search_tree.h"
int main()
{
int a[10] = {5,4,2,8,7,1,9,3,6,10};
int i=0;
bst_tree *root=NULL;
for(i=0; i<10; i++)
root = bst_insert(root, a[i]);
bst_delete(root, 5);
bst_print(root);
printf("n%d %sn", root->key, bst_search(root, 10) ? "yes":"no");
return 0;
}