引言
现场可编程门阵列（FPGA）芯片在许多领域均有广泛的应用，尤其是在无线通信领域。FPGA具有极强的实时性和并行处理能力，这使其对信号进行实时处理成为可能。FPGA内部一般都包含逻辑单元（查找表/触发器）、存储单元（BRAM）、乘加单元（MAC）和一些其他的时钟、引脚单元等。
现代数字信号处理的主要发展趋势是：算法结构日趋复杂，计算量大，实时性要求高，并且包含大量的三角函数、开方、对数等复杂函数的计算。但FPGA内部的乘加单元并不适合直接进行此类函数的计算，需要把各种复杂函数分解为简单的移位、加法和乘法结构，进而在FPGA中实现。
当前，在FPGA上实现三角函数、开方、对数等复杂函数的计算，技术领域最常见的是除法，其次为开方和三角函数，很少涉及对数和其他复杂一些的函数。而在FPGA具体的实现上，此类函数一般采用直接查表法或幂级数展开法，对于三角函数和开方的计算，也会采用CORDIC的计算方法，但这三种方法的应用都有一定的局限性。
1 现有的FPGA实现方法
（1）在FPGA上采用直接查表方法，来实现函数的计算，具有：
优点——通用性强、结构简单；
缺点——随着输入位宽的增加，内部存储量的消耗呈指数性增长。
表1给出了不同输入输出位宽所需要的存储单元（BRAM）。
表1 不同输入输出位宽所需要的存储单元
可以看出，输入输出位宽较小时，直接查表法可以满足实现要求，但在数字信号处理领域，输入输出一般都在16bits以上，这时采用直接查表法就很难满足实现需求。
这里以开方算法为例进行说明。采用直接查表法进行开方计算有2种方式。
方式一：在完全保证精度的条件下，采用直接查表法。若开方为16bits输入16bits输出，在完全保证精度的条件下，FPGA就需要存储216深度的数据，需要64块18k BRAM的存储空间。而一片中等FPGA一般包含几十块到几百块的18k BRAM存储单元，此时计算就要用掉大部分的存储单元，显然不满足实现的资源需求。
方式二：降低精度，减少输入位宽，采用直接查表法。
表2 直接查表法开方误差表
可以看出，随着实际有效输入的增加，计算精度变大，很难满足计算的误差要求。
（2）在FPGA上采用幂级数展开法计算函数。
优点——计算精度可控，多级展开可以达到较高的计算精度；
缺点——幂级数展开法为了达到较高的精度，需要多级展开，这样就需要采用较多的资源来实现。
以exp为例（0～π/4范围内），采用三角函数幂级数展开法：
若输入为16bits，采用幂级数展开法的计算框图如图1。
从资源方面考虑，三角函数幂级数展开法在FPGA中的实现需要5级乘法和3级加法，考虑每级乘法位宽需要扩展，实际需要FPGA的12个乘法器
（18bits×18bits）资源。此外从误差方面考虑，0～π/4范围内，cosΦ的最大误差为0.046%， sinΦ的最大误差为0.35%。
图 1 幂级数展开法实现exp计算
此外幂级数展开法的应用范围也比较有限，开方、倒数、对数、三角函数的计算可以采用幂级数展开法，但对于
等较复杂的函数计算就不再适合用此方法进行计算。
（3）在FPGA上采用CORDIC法来实现函数的计算。
优点：将复杂的运算分解为简单移位、加迭代
运算，结构规则，运算周期可以预测，比较适合于FPGA实现；
缺点：一般使用多周期方式，单周期方式资源消耗较高，并且计算仅限于向量旋转、开方等有限的范围。
采用CORCIC计算三角函数，16bits输入，在多周期条件下需要500个左右的LUT/FFs，在单周期条件下，需要1000个左右的LUT/FFs。
2 本文提出的方法
本文在FPGA上采用两级方法进行函数计算：第一级，直接利用输入数据的高有效位确定计算结果的有效范围；第二级，直接利用输入数据的低有效位进行计算结果的误差调整。本研究方法充分利用FPGA内部的各种逻辑资源、乘加器（或乘法器）资源和BRAM资源：可以根据FPGA内部BRAM资源的大小采用相应深度的数据表存储第一级数据的有效范围；采用FPGA内部的乘加器（或乘法器）资源进行乘加操作。此方法具有控制简单，结构规则，单运算周期，计算精度较高的特点，适合于FPGA的算法实现。
此外，采用本研究方法的两级计算的方法，不同函数的计算实现方法一致，只要修改第一级计算高有效位数据表格中的数据，就可以复用设计，有利于资源共享和模块化实现。
图2 FPGA两级法进行函数的计算
同现有方案的比较分析：
（1）同直接查表法比较
以开方为例进行，资源和误差的列表如表3。可以看出，在资源和误差方面，本研究方法在FPGA上实现函数计算优势明显。此外，FPGA可以通过增加存储单元和扩展输出位宽来进一步提高计算精度。
表3 两级计算法开方同直接查表法误差比较表
（2）同幂级数展开法的比较
首先，本问题出的新方法比幂级数展开法的应用范围更广泛。其次，在同样的函数下，以exp的计算为例，本文提出的新方法资源更好，误差更小。在资源方面，FPGA上采用的两级计算方法， 同时计算只需要2个乘法器即可，远远少于幂级数展开法的资源消耗；在误差方面，0～π/4范围内，16bits输入，cosΦ和sinΦ的最大误差都小于10-5，因此此方法误差比幂级数展开法误差要小。
（3）同CORDIC方法比较
首先，本文提出的新方法比幂级数展开法的应用范围更广泛。其次，在同样的函数下，以exp的计算为例，新方法资源消耗相对较少，cosΦ和sinΦ同时计算只需要300个左右的LUT/FFs即可。而且，新方法采用的是单运算周期模式，运算速度更高。
3 实现流程
如图3所示，本论文采取的实现方法如下：
步骤一：根据一维函数的计算，预先生成一定深度的计算表格；
步骤二：移位（可选），把数据的高有效位移位成1，增加较小数据的计算精度；
步骤三：提取数据的高bits，作为第一级数据表的地址，得到数据值y(n)；
步骤四：提取数据的高bits，加1后作为第一级数据表的地址，得到下一个数据值y(n＋1)；
步骤五：计算差值diff(n)=y(n+1)-y(n)；
步骤六：提取数据的低bits，作为有效的偏移数据，同计算的差值相乘，得到偏移off(n)=data_lsb(n)*diff(n)；
步骤七：高位查表数据值y(n)同偏移相加得到计算值out=y(n)+off(n)；
步骤八：根据步骤一的移位逆操作（可选），得到实际输出值。
图3 FPGA两级法求解函数的流程框图
如图4所示，对本研究方法进行进一步的详细说明。
对于任意一个一维函数，若采样点足够密集，那么任何2个采样点之间可以看作是线性关系，可以通过插值的方法来计算。
图4 FPGA两级法求解函数的详细说明
由图6可得出，两极法的误差范围更小。
4 结论
在现代数字信号处理方面，FPGA具有极强的实时性和并行处理能力[5]。在FPGA的实现上，本文介绍了现有的直接查表法、幂级数展开法、CORDIC计算方法的优缺点。在此基础上，本文研究了基于FPGA的两极计算法，并把它和以上三种方法进行比较，得出两极算法具有控制简单、结构规则、单运算周期、计算精度较高的特点。此外，本文详细介绍了两极算法的实现流程，并举例来进行说明，使读者能够更好地掌握两极算法。