逻辑函数卡诺图的引出

一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内 ,此方格图称为卡诺图。因此，卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。卡诺图是美国工程师Karnaugh在20世纪50年代提出的。
下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量的卡诺图。
大家知道，n个变量的逻辑函数有2ⁿ个最小项，因此一个变量的逻辑函数有两个最小项。设变量为D，则最小项为和D，分别记为m₀和m₁，即m₀＝，m₁＝D 。这两个最小项可用两个相邻的方格来表示，如图1(a)所示。方格上的和D分别表示原变量和非变量。为了简明起见，非变量可以不标出，只标出原变量D，即可得图1(b)。图1(c)是进一步的简化画法，其中m₀、m₁只用其下标编号来表示。

图1 1变量卡诺图

如果逻辑函数的变量增为两个，设为C、D，则2变量逻辑函数的最小项为2²＝4项，即，，，m₃=CD。由于有4个最小项，可用4个相邻的方格来表示。这4个方格可以由折叠了的1变量卡诺图展开来获得，如由图2(a)按箭头方向展开成图2(b)。在图2(b)中，变量D标在图的底下，标的规律符合展开的规律（参看图1c），中间两格底下为D，两边的两格底下为（图中未标出)。因为变量C的标法必须区别于D，这样就有两种可能的标法，可以标在展开前方格的顶上，也可标在展开后新的两个方格的顶上，图(b)采用后一种标法，以保持左边的第一格仍为m₀项，即维持展开前两方格最小项序号不改变。由图2(b)可看到一个规律：新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了2^n-1＝2^2-1＝2。按照这个规律折叠图2(a)时，方格1后面为方格3，方格0后面为方格2，展开后即得图2(b)所示的2变量卡诺图。

图2 2变量卡诺图

综上所述，可归纳"折叠展开"的法则如下：
1.新增加的方格按展开方向应标以新变量。
2.新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加2^n-1。
按照同样的方法，可从折叠的2变量卡诺图展开获得3变量卡诺图。3变量逻辑函数L（B,C,D）应有8个最小项，可用8个相邻的方格来表示，这8个方格可由图3(a)展开成图3(b)来获得。新增加的4个方 格按展开方向应标以新增加的变量B（以区别于原来的变量C、D）。而且，新增加的方格内最小项的编号比展开前对应方格编号增加2^n-1＝2^3-1＝4，这样即可获得3变量卡诺图，如图3(b)所示。在图中，可根据某一方格所处的位置，列出该方格代表的最小项,例如,2号方格处于变量为的区域，则，余类推。

图3 3变量卡诺图

同理，可得4变量卡诺图，如图4所示。

图44变量卡诺图

在使用时，只要熟悉卡诺图上各变量的取值情况（即方格外各变量A、B、C、D等的取值的区域)，就可以直接填入对应的最小项。