在单片机应用系统的数据处理过程中，经常会遇到小数的运算问题，如求解BCD的增量算式、线性化处理等。因此，需要用二进制数来表示小数。表示小数的方法一般有两种，定点数和浮点数。定点数结构简单，与整数的运算过程相同，运算速度快。但随着所表示数的范围的扩大，其位数成倍增加，给运算和存储带来不便，而且也不能保证相对精度不变。浮点数的结构相对复杂，但它能够以固定的字节长度保持相对精度不变，用较少的字节表示很大的数的范围，便于存储和运算，在处理的数据范围较大和要求精度较高时，采用浮点数。
浮点数的概念
常用的科学计数法来表示一个十进制数如
l234.75=1.23475E3=1.23475×103
在数据很大或很小时，采用科学计数避免了在有效数字前加0来确定小数点的位置，突出了数据的有效数字的位数，简化了数据的表示。可以认为，科学计数法就是十进制数的浮点数表示方法。
在二进制效中，也可以用类似的方法来表示一个数，如
1234.75=10011010010.11(二进制)=0.1001101001011×211
一般表达式为
N=S×2p
在这种表示方法中，数值由四个部分组成，即尾数S及符号，阶码P及符号。
在二进制中，通过定义相应字节或位来表示这四部分，就形成了二进制浮点数。二进制浮点数可以有多种不同的表示方法，下面是一种常见的三字节浮点数的格式：
其中尾数占16位，阶码占6位，阶符占1位，数符占1位。阶码通常用补码来表示。
在这种表示方法中，小数点的实际位置要由阶码来确定，而阶码又是可变的，因此称为浮点数。
1234.75用这种格式的浮点数表示就是：
0000 1011 1001 1010 0101 1000
用十六进制表示为
1234.75=0B9A58H
-1234.75=4B9A58H
0.171875=043B00H
-0.171875=443B00H
三字节浮点数所能表示的最大值为
1×263=9.22×1018
能表示的最小数的绝对值为
0.5×2-63=5.42×10-20
其所表示的数的绝对值范围=(5.42×10-20～9.22×1018)，由此可以看到，比三字节定点数表示的数的范围大得多。
按同样方法可以定义一个四字节的浮点数，以满足更高精度的需要。
规格化浮点数
同一个数用浮点数表示可以是不同的，如
1234.75=0B9A58H=0C4D2CH=0D2696H
虽然这几种表示其数值是相同的，但其尾数的有效数字的位数不同，分别为16位、15位和14位。在运算过程中，为了最大限度地保持运算精度，应尽量增加尾数的有效位数。这就需要对浮点数进行规格化处理。
在只考虑用二进制原码表示尾数时，尾数的最高位为l，则该浮点数为规格化浮点数。在规格化浮点数中，用尾数为0和最小阶码表示0，三字节规格化浮点数的0表示为410000H。
浮点数在运算之前和运算之后都要进行规格化，规格化过程包括以下步骤：
(1)首先判断尾是否为0，如果为0，规格化结果为410000H;
(2)如果尾数不为0，判断层数的最高位是否为1，如果不为1，尾数左移，阶码减1;
(3)再判断层数的最高位是否为1，如果不为1，继续进行规格化操作，如果为1，则规格化结束。
浮点数运算
浮点数运算包括加、减、乘、除四则运算，比较运算，开方运算，多项式运算和函数运算。其它运算都可用这些基本运算的组合来完成。本节主要介绍浮点数四则运算及其子程序。
1.浮点数的加、减运算
浮点数的运算就是求结果的尾数、数符、阶码包括阶符的过程。在加、减运算中，参加运算的浮点数的阶码可能是不同的，其尾数所代表的值也是不同的。在这种情况下，尾数不能直接相加或相减，必须首先使两个数的阶相同，这一过程称为对阶。一般是让小阶向大阶对齐，尾数相应右移。对阶相当于算术中的小数点对齐或代数中的通分。尾数相加或相减得到了结果的尾数。数符由尾数的运算结果的符号确定。阶码就是两个数中较大的阶码。
例1 计算132.25+69.75
解: 132.25+69.75=088444H+078B80H=088444H+0845C0H=08CA00H=202
由于两个浮点数的阶码分别为8和7，先将加数的阶码变为8，其尾数右移1位。两个数的阶码相同后，尾数直接相加即为和的尾数，和的尾数的最高位为1，为规格化浮点数。
例2 计算12.39-93.1
解: 12.39-93.1=04C651H-07BA33H=87A169H=-80.71
本例中被减数小于减数，差为负数，结果的数符为1。差的阶码为两个数中较大的阶码。
2.浮点数乘法运算
如果设参加运算的两个操作数分别表示为
Na=(-1)SSa×Sa×2Pa
Nb=(-1)SSb ×Sb×2Pb
它们的积为
N=Na×Nb=(-1)SSa+SSb×(Sa×Sb)×2Pa+Pb
式中SSa和SSb为两个数的数符。
乘法运算可总结为：
(1)积的数符为乘数的符号位和被乘数的符号位按模2求和，即异或;
(2)积的阶为乘数和被乘数的阶的和;
(3)积的尾数为被乘数和乘数的尾数的积。
参加运算的浮点数一般都是规格化的浮点数，尾数的积小于1，不需进行右规格化处理。但有可能小于0.5，所以需进行左规格化处理，使积为规格化浮点数。如果乘数或被乘数的尾为0、则积为410000H。由于在尾数相乘时，积的低16位不能反映在结果中，因此，积可能会产生一定的误差。
例3 算22.4l×4.23。
解: 22.41×4.23=05B349H×03875EH=07BD9AH=94.8
积的阶为乘数和被乘数的和，即8。尾数相乘时，积小于0.5，进行左规格化处理，阶码变为7。
例4 计算2586.5×(-6.91)。
解: 2586.5×(-6.91)=0CA1BOH×83DD13H=8F8BA0H=-17872
被乘数为正数，数符为0，乘数为负数，数符为1，积的数符为0⊕1=1，积为负数。
3.浮点数的除法运算
除法运算可以表示为
N=Na/Nb=[(-1)SSa×Sa×2Pa]/[(-1)SSb×Sb×2Pb ]
=(-1)SSa-SSb×(Sa/Sb) ×2Pa-Pb
浮点数的除法运算可以总结为：
(1) 商的数符为被除数与除数的符号位的差;
(2) 商的阶码为被除数和除数的阶码的差;
(3) 商的尾数为被除数和除数的尾数的商。
规格化的浮点数进行除法运算时，尾数相除，商不会小于0.5，不需进行左规格化处理。但有可能大于1，有时需进行右规格化处理。
例5 计算390.67&pide;14.3l。
解: 390.67&pide;14.31=09C357H&pide;04E511H=05DA4EH=27.3
商的阶码为被除数与除数的阶码的差。尾数相除时，结果的最高位为1，商为规格化浮点数。
例6 计算 -6.02&pide;16.157。
解: -6.02&pide;16.157=83C0AAH&pide;058143H=FFBEC8H= -0.373
异号相除时，商为负数。由于被除数的尾数大于除数的尾数，所以被除数先进行右规格化，阶码变为4，商的阶码为 -1，用补码来表示。
浮点数运算子程序
通过前面的分析可以看到，浮点运算比较复杂，有其特有的方法和规律。这里介绍几种常用的三字节浮点数运算子程序，通过分析、设计这些程序，可以进一步了解浮点数的运算过程和特点，熟悉复杂程序的设计方法。
1.浮点数通用规格化子程序
在浮点数运算过程中，有时需要左规格化，有时需要右规格化。通过规格化子程序既可实现左规格化，又可实现右规格化，其具体功能如下：
当Cy=0时，进行右规格化：F0=0时.对R6(阶)R2R3(尾数)右规格化1位;F0=1时，对R7(阶)R4R5(尾数)右规格化1位。
当Cy=1时，对R6(阶)R3R3(尾数)执行左规格化。
程序开始时，判断是执行左规格化还是右规格化。如果是右规格化，还要判断是对R6(阶)R2R3(尾数)还是对R7(阶)R4R5(尾数)进行规格化。如果是左规格化，直至把操作数变为规格化浮点数。其程序框图如图4-13所示。程序为：
FSDT: JC LNORMS
MOV C, 39H ;进行右规格化
JB F0, NR7
MOV A, R2 ;R2R3右移一位
RRC A ;(Cy)移入尾数最高位
MOV R2, A
MOV A, R3
RRC A
MOV R3, A
INC R6 ;阶码加1
RET
NR7: MOV A, R4
RRC A
MOV R4, A
MOV A, R5
RRC A
MOV R5, A
INC R7
RET
LNORMS: MOV A, R7
JNZ LSHIFT
CJNE R3, #00H, LSBIT8 ;尾数为0，阶码41H
MOV R6, #41H
LSEND : RET
LSHIFT: JB ACC.7, LSEND
LSBIT8: MOV C, F0
MOV A, R3
RLC A
MOV R3, A
MOV A, R2
RLC A
MOV R2, A
CLR F0
DEC R6
SJMP LNORMS
2.浮点数加减运算子程序
参加运算的浮点数可能是正数，也可能是负数。对于加法运算.当加数和被加数的数符相同时，尾数相加，不同时尾数相减;对于减法运算，当减数和被减数的数符相同时，尾数相减、不同时尾数相加。当两个浮点数的阶码不同时，要进行对阶，使小阶与大阶相等，因此，结果的阶码与其较大的阶码相同。
在执行加法运算时，尾数有可能大于1，因此要进行右规格化处理;执行减法运算时，尾数有可能小于0.5，因此，要进行左规格化处理。
下面是三字节浮点数加、减法处理于程序，具体功能为：
R6(阶)R2R3(尾)±R7(阶)R4R5(尾)→R4(阶)R2R3(尾);
当位3AH=0时，执行加法;
当位3AH=1时，执行减法。
程序框图如图4—14所示。程序如下：
FABP： MOV A, R6
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C ;存被加数数符
XRL A, R7
JNB ACC.7, FAB1 ;数符相同则转
CPL 3AH ;数符不等，求反运算标志
图4-14
FAB1: MOV A, R6
MOV C, ACC.6 ;扩展阶码符号位
MOV ACC.7, C
MOV R6, A
MOV A, R7
CLR C
MOV A, R6
SUBB A, R7
JZ FAB2 ;阶码相同则转
CLR F0
JB ACC.7, FAB6
CJNE R4, #00H, FAB7
CJNE R5, #00H, FAB7
FAB2: JB 3AH, FAB9 ;转向尾数减法
MOV A, R3 ;执行尾数加法
ADD A, R5
MOV R3, A
ADD A, R2
ADDC A, R4
MOV R2, A
JNC FAB4
SETB 39H
CLR C
FAB3: CLR F0
LCALL FSDT
FAB4: CJNE R2, #00H, FAB5
CJNE R3, #00H, FAB5
MOV R4, #41 ;结果为0，规格化
RET
FAB5: MOV A, R6
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C
XCH A, R4
MOV R6, A
RET
FAB6: CJNE R2, #00H, FAB8
CJNE R3, #00H, FAB8
MOV A, R7
MOV R6, A
SJMP FAB2
FAB7: CPL F0
FAB8: CLR C
LCALL FSDT
SJMP FAB1
FAB9: MOV A, R3 ;尾数相减
CLR C
SUBB A, R5
MOV R3, A
MOV A, R2
SUBB A, R4
MOV R2, A
JNC FAB10
CLR A
CLR C
SUBB A, R3
MOV R3, A
CLR A
SUBB A, R2
MOV R2, A
CPL 38H
FAB10: SETB C
SJMP FAB3
3. 浮点数乘法运算子程序
浮点数相乘时，阶码直接相加即获得积的阶码，尾数相乘时，结果可能小于0.5，需进行左规格化处理。下面是三字节浮点数乘法运算子程序，具体功能为：
(Ro)指向的三字节浮点数×(R1)指向的三字节浮点数→R4(阶)R2R3(尾数)。
图4-15三字节浮点数乘法的程序框图。程序为：
FMUL: LCALL FMLD ;传送浮点数
MOV A, R6 ;求积的数符
XRL A, R7
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C
LCALL DMUL ;调用双字节无符号数乘法子程序
MOV A, R7
MOV C, ACC.7
MOV F0, C
MOV A, @R0
ADD A, @R1
MOV R6, A
SETB C
LCALL FSDT ;进行规格化操作
图4-15 三字节浮点数乘法子程序
MOV A, R6
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C ;置积的数符
MOV R4, A
RET
注：(1)FMLD为浮点数取数子程序，功能为：将(R0)指向的三字节浮点数送入R6(阶)R2R3(尾数)中，将(R1)指向的三字节浮点数送入R7(阶)R4R5(尾数)中。
(2)DMUL为双字节无符号数乘法子程序。
4.浮点数除法运算子程序
在进行除法运算时，被除数的尾数可能比除数的尾数大很多，使结果大于1。为避免这种情况，如果被除数尾数大于除数的尾数，先将被除数的尾数右移，使其小于除数的尾数。阶码也相应增加，保持其数值不变。下面是三字节浮点数除法运算程序，其功能为：(R0)指向的三字节浮点数除以(R1)指向的三字节浮点数→R4(阶)R2R3(尾数)中。
程序框图如图4-16所示。程序为：
FDIV: LCALL FMLD
MOV A, R6
XRL A, R7 ;求商的数符
MOV C, ACC.7
MOV 38H, C
CLR A
MOV R6, A
MOV R7, A
CJNE R4, #00H, FDIV1
CJNE R5, #00H, FDIV1
SETB C
RET ;除数为0返回
FDIV1: MOV A, R3 ;比较被除数与
SUBB A, R5 ;除数的尾数
MOV A, R2
SUBB A, R4
JC FDIV2
CLR F0
CLR 39H
LCALL FDST
RRC A
MOV R7, A
CLR C
SJMP FDIV1
FDIV2: CLR A
XCH A, R6
PUSH ACC
LCALL DDIV ;调用双字节除法程序
POP ACC
ADD A, @R0
CLR C
SUBB A, @R1
MOV C, 38H
MOV ACC.7, C
MOV R4, A
CLR C
RET