摘 要：带通Sigma-Delta调制器常用的行为级仿真工具是基于Simulink仿真环境的SD Toolbox工具箱，但是该工具箱中只有两个延时单元的谐振器模型，无法对一个延时单元或无延时单元的谐振器进行模拟。针对模拟开关电容单位延时器的非理想因素，尤其是有限直流增益，进行了详细的分析，并据此利用Matlab对其进行了行为级建模。利用构建的模拟单位延时器模型可以很好地弥补SD Toolbox工具箱的上述不足。仿真结果表明，所构建的模型与电路实现的结果较为接近。
Sigma-Delta模/数转换器包含模拟Sigma-Delta调制器和数字抽取滤波器两部分。数字部分技术相对成熟，且仿真结果与实际结果比较接近。而调制器部分则由于各种因素的影响，需要大量的行为级仿真来预估其性能，因此对调制器的行为级建模十分重要。
带通Sigma-Delta调制器常用的行为级仿真工具是基于Simulink仿真环境的SD Toolbox[1]工具箱，但是该工具箱中只有两个延时单元的谐振器模型，因此无法对一个延时单元或无延时单元的谐振器进行模拟。而使用DD结构实现的一个延时单元或无延时单元的谐振器又较为常见[2-4]。因此为对这一类型的谐振器进行行为级仿真，需要构建相应的模拟单位延时器Simulink模型。
本文首先就模拟单位延时器的非理想因素进行了分析，并给出了相应的Simulink模型。然后，利用所构建的模块搭建了DD类型的带通Sigma-Delta调制器。仿真结果表明，构建的模型较为接近实际结果。
1 非理想因素分析及相应的Simulink模型
开关电容模拟单位延时器电路中的非理想因素包括时钟抖动、KT/C噪声以及运放参数（噪声、有限的直流增益、带宽、摆率及饱和电压）等[5]。这些非理想因素可以通过Simulink模块或Matlab函数来模拟。
1.1 时钟抖动
开关电容电路依赖电路的每个时钟周期内电荷的完全转移来实现相应的滤波、积分或延时等功能。但是即使是理想情况下，开关电容电路仍存在一种误差——时钟抖动误差。它不依赖于具体的电路功能及结构，并且其对电路的影响可以通过其对电路的输入信号的影响来描述。具体到开关电容电路实现的带通Sigma-Delta调制器中，采样时钟的抖动导致了非均匀采样，从而增加了总的量化器输出误差功率。其幅度与抖动的统计特性及调制器的输入信号有关。对于一个正弦信号x(t)=Asin(2πfint)，输入到抖动时间为δ的开关电容电路中，相应的误差为：
利用Simulink模块构建的时钟抖动模型如图1所示，其中抖动时间δ通过高斯随机过程来模拟。
1.2 热噪声
开关电容带通Sigma-Delta调制器电路重要的噪声源之一是与采样开关及运放固有噪声相关的热噪声[6]。由于后级运放及开关电容处于负反馈环路中，其噪声会被调制器噪声整形，故影响调制器噪声性能的主要因素是输入级采样电容和运放。
热噪声是由载流子的不规则热运动引起的白频谱宽带信号，其带宽仅受开关电容的时间常数和运放带宽限制。
1.2.1 采样电路热噪声
在开关电容电路中，开关在导通期间可以被看作是一个电阻，其等效热噪声的单边、类白噪声的功率谱密度为：
其中k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度，Ron是开关导通时的等效电阻。
在采样网络中，开关的热噪声通过由Ron和Cs构成的一阶低通滤波器进行滤波，其传递函数为：
另外，输入级运放通常有多个采样电容，分别与输入信号及反馈信号相连，它们都会引入热噪声。
1.2.2 运放噪声
运放噪声包括热噪声、闪烁噪声和直流偏移等，但是具体到带通Sigma-Delta调制电路中，由于信号的频率处于中频处，故可以忽略闪烁噪声和直流偏移[7]。就仿真而言，它等效于在调制器输入加上一个干扰信号。因此构建的运放噪声模型如图3所示。
1.3 模拟延时器的非理想因素
开关电容实现的模拟单位延时器由于运放有限的增益和带宽、摆率及饱和电压等非理想因素的影响而与理想特性存在一定的偏差。延时电路如图4所示。
1.3.1 运放有限增益
由于运放的增益有限，导致延时器泄露。参照图4，根据电荷守恒，有：
1.3.2 运放有限带宽和摆率
运放有限的带宽和摆率对单位延时电路性能的影响是相互关联的，并可看作非线性增益。第n+1个时钟周期内，开关电容延时器中的运放输出节点[8]有：
考虑以下两种情况：
(1)由式(12)得到的值比运放的摆率SR小。这种情况下，摆率并不会对延时器性能造成影响并且延时器输出也满足式(11)。
(2)由式(12)得到的值比运放的摆率SR大。这种情况下，运放处在转换状态，因此v0(t<t0)的瞬时转换状态的第一部分是线性的，其斜率为SR。假设t0<T，则有：
综合考虑运放的各种非理想因素后构建的单位延时器模型如图5所示，其中有限增益通过小于1的系数alfa来模拟，带宽及摆率使用Matlab函数来模拟，而饱和电压利用Simulink中的饱和度模块来模拟。
2 仿真结果及比较
应用构建的Simulink模型搭建DD类型的带通Sigma-Delta调制器如图6所示。参照参考文献[4]设定仿真所使用的参数及调制器的非理想因素，如表1和表2所示。
仿真结果如图7所示。其中信噪比为74.7 dB，有效位为12.12 bit。
将应用本文模块所构建的带通调制器与SD Toolbox及参考文献[4]中的实际开关电容电路相比较，结果如图8所示。结果表明，使用模拟单位延时器模型构建的带通Sigma-Delta调制器与实际的电路仿真结果较为接近。
另外，应用Simulink中的scope模块可以观察每个运放的输出，进而判断其是否过载，以便及时修改相应的参数进行优化。
本文通过研究开关电容单位延时电路，分析了电路中的各种非理想因素，并且利用Simulink模块及Matlab函数构建了一整套模拟单位延时器模型用于带通Sigma-Delta调制器的行为级仿真。该模型包括调制器的大多数非理想特性：时钟抖动、KT/C噪声以及运放参数（噪声、有限的直流增益、带宽、摆率及饱和电压）。利用这一模型可以对具有一个延时单元或无延时单元的谐振器进行模拟，在比较短的仿真时间内预估对应调制器的性能，进而对电路参数进行优化以满足设计要求。
参考文献
[1] SCHREIER R.SD Toolbox[EB/OL].(2002-09-30)[2014-03-22].http：//www.mathworks.cn/matlabcentral/fileexchange/2460-sd-toolbox.
[2] HAIRAPETIAN A.An 81-MHz IF receiver in CMOS[J].IEEE J. of Solid-State Circuits，1996，31(15)：1981-1986.
[3] SALO T，LINDFORS S，HALONEN K.A low-voltage single-Opamp 4th-order band-pass Δ∑-modulaor[C].IEEE Symp.on Circuits and Systems，2001：352-355.
[4] LONGO L，HOMG B.A 15b 30 kHz bandpass Sigma-Delta modulator[C].In Proc.ISSCC，San Francisco，CA，Feb.1993：226-227.
[5] NORSWORTHY S R，SCHREIER R，TEMES G C.Delta-Sigma data converters theory，design，and simulation[M].New York：IEEE Press，1997.
[6] SCHREIER R，TEMES G C.Understanding Delta-Sigma data converters[M].New York：IEEE Press，1997.
[7] MALCOVATI P，BRIGATI S，FRANCESCONI F，et al.Behavioral modeling of switched capacitor sigma-delta modulators[J].IEEE Trans.ISCASI，2003，50(3)：352-364.
[8] 比查德·拉扎维.模拟CMOS集成电路设计[M].西安：西安交通大学出版社，2002.